這類題目的算法，在西洋數學中叫作積彈（t）和擬形數（），又叫擬形（xíng）級數（）。[]中國叫垛積，舊數學中（zhōng）和它類似的算法，屬於“少廣”一類。最早的見於朱世傑的《四元（yuán）玉鑒》中“茭草（cǎo）形段”“如像招數”和“果垛疊藏（cáng）”各題，後（hòu）來郭守敬、董祜誠、李善蘭這些（xiē）人的著作中把它講（jiǎng）得（dé）更詳細（xì）。
這裏我們先說大家從西洋數學中容易找到的積彈。積彈的計算法，已有一（yī）定的公式，因了堆積的方法不同分為四類：如圖各層是成正方形的，圖各（gè）層是（shì）成正三角形的（de），圖各層是成矩形的，但這三（sān）種到頂上都是尖的。圖，各（gè）層都成（chéng）矩形而（ér）頂上是平的，用數學上的名字來說（shuō），第一是正方錐，第二是正三角錐，第三側麵（miàn）是等腰三角形，正麵是等腰梯形，第四側麵和正麵都是（shì）等（děng）腰梯形。
所謂積彈，一般是知道（dào）了（le）層數計算（suàn）總數，在（zài）這裏且先將各公式寫出來。
（1）設n表示層數，也就是（shì）王老頭子的湯團底層每（měi）邊（biān）的個數，若王老頭子的湯團是照圖的形式堆，則湯團的總數是：
所以（yǐ），若是王老頭（tóu）子（zǐ）的那盤湯團有十層，那就是n等於，因此，
（2）若王老頭子的湯團是照圖的形式（shì）堆，那麽，
所（suǒ）以，他若是也隻堆十層，總數便是：
（3）圖中，這一種不但和層數有關係，並且同著頂上一層的（de）個數也有關係，設（shè）頂上一層有p個，則
舉個例子（zǐ）說，若頂上一層有五個，一共有十層，就是p等於5，n等於，則
（4）自然圖中這（zhè）種和第一層的個數也有關係，而第一層既然也是矩形，它的個數就和這矩形的長闊兩邊的個數有關。設頂上一層長（zhǎng）邊有a個（gè），闊邊有b個，則
舉個例子說，若第一層的（de）長邊有五個，闊邊有三個，一共有十（shí）層，就是a等於5，b等於3，n等於；則
不用說，已（yǐ）經有公式，隻要照它計算出一個（gè）總數，這是很容易。不過我們的問題是這公式怎樣得來的。
要證明這公式，我們有三種方法。